Grupo abeliano
English: Abelian group

Un grupo abeliano o grupo conmutativo es una estructura algebraica dada sobre un conjunto mediante una operación binaria denotada por "" que cumple las propiedades:

  1. tiene estructura algebraica de grupo.
  2. para cualquier par de elementos .

Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas solubles por radicales.[1]​ Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).

Notación

Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.

Notación Operación Elemento
neutro
Potencias Elementos
inversos
Suma directa /
Producto directo
Adición 0
Multiplicación o e o 1 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}

La notación multiplicativa no es otra que la notación usual para los grupos, mientras que la aditiva es la notación usual para módulos. Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, usualmente se usa la notación aditiva.